Modelado del potencial eléctrico de dos cargas
Aprenderemos aquí desde cero a construir un modelo de un problema físico.
Enunciado del problema
El objetivo de este modelo es calcular el potencial eléctrico V generado por dos cargas puntuales (q1 y q2) en cualquier punto del espacio, y posteriormente determinar el campo eléctrico E mediante la relación E = -∇V.
Nota importante: Para simular E = -∇V, ScienSolar ya cuenta con un módulo especial (Módulo 2) que calcula automáticamente el gradiente del potencial.
Breve teoría
Potencial eléctrico de cargas puntuales
El potencial eléctrico V en un punto P del espacio, generado por un sistema de cargas puntuales, se calcula como la suma algebraica de los potenciales individuales creados por cada carga:
Donde:
- k es la constante de Coulomb (8.99 × 109 N·m²/C²)
- q1 y q2 son los valores de las cargas (en Coulombs)
- r1 y r2 son las distancias desde cada carga al punto P
Campo eléctrico como gradiente del potencial
El campo eléctrico E está relacionado con el potencial eléctrico V mediante:
Donde ∇ es el operador gradiente. Esta relación indica que el campo eléctrico apunta en la dirección de máximo decrecimiento del potencial.
Recordatorio: ScienSolar incluye el Módulo 2 para calcular automáticamente E = -∇V una vez definido el potencial V.
Pasos para el modelado
Paso 1: Crear nueva hoja para el modelo
Abra el archivo que contiene ScienSolar y en la interfaz oprima el botón Nueva hoja.
Paso 2: Agregar vectores para representar las magnitudes
Oprima 3 veces el botón Nuevo Vector para agregar 3 vectores y dele los siguientes nombres a medida que aparecen las ventanas: q1 para la primera carga, q2 para la segunda carga y V para el potencial.
Paso 3: Configurar las celdas para el modelo
Implemente la fórmula del potencial eléctrico usando los valores de las cargas y las distancias de acuerdo a la fórmula:
| Celda | Valor | Descripción |
|---|---|---|
| G10 | 8,99E9 | Valor de la constante k |
| G11 | 1E-9 | Valor de la carga q1 en coulombs |
| G12 | -1E-9 | Valor de la carga q2 en coulombs (negativa) |
| B7 | 146 | Con el número 146 en esta celda, ScienSolar trata a esta magnitud (q1) como un escalar |
| D10 | << - posición q1 | Etiqueta para indicar las coordenadas de la posición de la carga q1 |
| A10 | 0 | Posición en x de la carga q1 |
| B10 | -3 | Posición en y de la carga q1 |
| C10 | 0 | Posición en z de la carga q1 |
| C14 | 8 | Grosor del punto que representa la carga en el sistema de coordenadas |
| B16 | 146 | Con el número 146 en esta celda, ScienSolar trata a esta magnitud (q2) como un escalar |
| D19 | << - posición q2 | Etiqueta para indicar las coordenadas de la posición de la carga q2 |
| A19 | 0 | Posición en x de la carga q2 |
| B19 | 3 | Posición en y de la carga q2 |
| C19 | 0 | Posición en z de la carga q2 |
| C23 | 8 | Grosor del punto que representa la carga en el sistema de coordenadas |
| B25 | 146 | Con el número 146 en esta celda, ScienSolar trata a esta magnitud (V) como un escalar |
| D29 | << - Indique el punto de interés del potencial | Etiqueta para indicar el ingreso del punto del potencial |
| A28 | =A29 | Necesario en ScienSolar para generar el campo escalar en varios puntos del espacio |
| B28 | =B29 | Necesario en ScienSolar para generar el campo escalar en varios puntos del espacio |
| C28 | =C29 | Necesario en ScienSolar para generar el campo escalar en varios puntos del espacio |
| A29 | 0 | Coordenada x del punto de estudio del potencial |
| B29 | 4 | Coordenada y del punto de estudio del potencial |
| C29 | 2 | Coordenada z del punto de estudio del potencial |
| C32 | 5 | Grosor del punto que representa el potencial en el sistema de coordenadas |
| C33 | Color oscuro o negro | Cambie el color de la celda para cambia el vector gradiente del potencial |
| A30 | =G10*G11/RAIZ((A10-A29)^2+(B10-B29)^2+(C10-C29)^2)+ G10*G12/RAIZ((A19-A29)^2+(B19-B29)^2+(C19-C29)^2) | Fórmula para el cálculo del potencial: V = k q1/√[(x - x₁)² + (y - y₁)² + (z - z₁)²] + k q2 / √[(x - x₂)² + (y - y₂)² + (z - z₂)²] |
| B30 | 0 | Como el potencial es un escalar, esta celda debe ser cero, pues el valor del potencial ya se encuentra en A30. |
| C30 | 0 | Como el potencial es un escalar, esta celda debe ser cero, pues el valor del potencial ya se encuentra en A30. |
| C6, C15, C24 | Rojo para la carga positiva azul para la carga negativa verde para el potencial |
Cambie el color de estas celdas de acuerdo a su gusto |
| G15 | =A30 | Extraer de A30 el valor del potencial para hacerlo más visible |
Paso 4: Visualización del campo en una región del espacio
Una vez definido V, se pueden cambiar los valores de las cargas, posiciones y punto de estudio. Sin embargo, el campo escalar V se puede visualizar en una región y observar las zonas donde el potencial es aproximadamente constante. Para ello configure las celdas como se indica a continuación:
Paso 5: Activar el Módulo 2 para E = -∇V
Una vez definido V, active el Módulo 2 de ScienSolar para calcular automáticamente el campo eléctrico E como el gradiente negativo del potencial. Primero ingrese G24=0 para deshabilitar el modo campo del potencial y oprima XYZ. Luego, Seleccione de la lista de proyectos de ScienSolar el proyecto número 2 (DO) Operadores diferenciales y oprima el botón +Vector a la derecha. El módulo aparecerá a partir de la celda A33. En la lista del cuadro combinado (en E35) seleccione Grad (escalar U) y en la celda E37 el valor que se indica en la siguiente tabla, luego oprima el botón Calculate:
| Celda | Valor | Descripción |
|---|---|---|
| F24 | o[0,5]x=[0;0]o2[0,5]y=[-10;10]o3[0,5]z=[-10;10]color=[1]origin[cart.]=[0;0;0]tfactor=0,008s | Esta cadena de valores permite ver el campo en el rango de la coordenada "y" desde -10 hasta 10, y "z" desde -10 hasta 10 con un paso entre punto y punto de 0,5. El color=1 permite regular el color del potencial de acuerdo a su valor, en donde 1 es aproximadamente el valor promedio de todos los valores posibles en este rango (el rango de valores que recorre el potencial se puede observar en las celdas P6 y R6) |
| G24 | 1 | Este valor es un indicador para mostrar el potencial en una región del espacio |
| C25 | =SI(G24=1;F24;"") | Con esta fórmula se opera el indicador en G24 para mostrar u ocultar la vista del potencial en una región del espacio. |
| Celda | Valor | Descripción |
|---|---|---|
| E37 | =-(G10*G11/RAIZ((A10-A38)^2+(B10-B38)^2+(C10-C38)^2)+G10*G12/RAIZ((A19-A38)^2+(B19-B38)^2+(C19-C38)^2)) | La misma fórmula para calcular el potencial pero adaptada al nuevo módulo |
| C34 | =SI(G24=2;F24;"") | Fórmula de Excel para visualizar E = -grad V en una región del espacio con el indicador 2 en G24 |
| B35 | 40*1 | Permite regular el tamaño de los vectores en el sistema de coordenadas para visualizarlos mejor |
| G24 | 2 | Indicador para ver en el espacio E = -grad V. Recuerde que antes debe oprimir el botón Calculate |
Consideraciones adicionales
- Recuerde que el potencial es una cantidad escalar, mientras que el campo eléctrico es vectorial.
- Para cargas del mismo signo, el potencial será siempre positivo/negativo, mientras que para cargas de signo opuesto, existirán regiones con potencial cero.
- El Módulo 2 de ScienSolar calculará automáticamente las componentes Ex, Ey y Ez del campo eléctrico.
- En las dos últimas figuras se observa el potencial y el campo eléctrico para un dipolo eléctrico. Observe que la última figura también se puede obtener del modelo 25 Campo eléctrico y la del potencial en el modelo 35 Potencial de cargas puntuales de los modelos de ScienSolar.
- Puede ajustar la resolución del cálculo según sus necesidades de precisión y recursos computacionales en la celda E24.
- En la celda G24 coloque la cifra 1 para visualizar el potencial, la cifra 2 para visualizar el campo y la cifra 0 para calcular el campo y el potencial en un punto, ademas el punto para el potencial se indica en A29, B29 y C29, mientras que el punto para el campo se indica en A38, B38 y C38.
- El nuevo modelo se puede exportar mediante el botón Código y luego integrarlo a ScienSolar. Luego de exportarlo, abra el archivo de texto que se guardó en la misma carpeta en la que se encuentra el libro de Excel de ScienSolar y siga las instrucciones aqui.